整合(或也叫作集成)涉及兩種本質(zhì)上不同類型的問題。

• 第一種類型問題是給出了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并且想要找到該函數(shù)。所以基本上扭轉(zhuǎn)了差異化的過程。 這種反向過程被稱為抗分化，或者找到原始函數(shù)，或者找到不確定的積分。
• 第二種類型問題是涉及相當(dāng)多的非常小的數(shù)量，然后隨著數(shù)量的大小接近于零，而術(shù)語(yǔ)的數(shù)量趨向于無(wú)窮大。這個(gè)過程導(dǎo)致了定積分的定義。

確定的積分用于查找區(qū)域，體積，重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由力完成的工作以及許多其他應(yīng)用。

使用MATLAB找到不確定的積分

根據(jù)定義，如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)是f'(x)，那么可以說f'(x)相對(duì)于x的不確定積分是f(x)。 例如，由于x^2的導(dǎo)數(shù)(相對(duì)于x)為2x，可以說2x的不確定積分是x^2。

在符號(hào)中 -

因此可相當(dāng)于 -

不確定積分并不是唯一的，因?yàn)閷?duì)于常數(shù)c的任何值，x^2 + c的導(dǎo)數(shù)也將是2x。

這用符號(hào)表示為 -

其中，c被稱為“任意常數(shù)”。

MATLAB提供了一個(gè)用于計(jì)算表達(dá)式積分的int命令。 為了得出一個(gè)函數(shù)的無(wú)限積分的表達(dá)式，它的寫法為 -

int(f);

例如，引用之前的例子 -

syms x 
int(2*x)

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

ans =
 x^2

示例1

在這個(gè)例子中，有一些常用表達(dá)式的積分。 創(chuàng)建腳本文件并在其中鍵入以下代碼 -

syms x n
int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

ans =
 piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
 -cos(n*t)/n
 ans =
 (a*sin(pi*t))/pi
 ans =
 a^x/log(a)

示例2
創(chuàng)建腳本文件并在其中鍵入以下代碼 -

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))
int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))
int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))

請(qǐng)注意，pretty函數(shù)返回表達(dá)式的更可讀格式。

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

ans =

sin(x)


ans =

exp(x)


ans =

x*(log(x) - 1)


ans =

log(x)


ans =

(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5


                                    2             4 
  24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x) 
  ----------- + ------------- - -------------- + ----------- - 
     3125            625             125              5 

        3             5 

    4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x) 
     ------------- + ----------- 
          25              5

ans =

-1/(4*x^4)


ans =

tan(x)


        2 
  x (3 x  - 5 x + 1)

ans =

- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2


       6      5      4    3 
    7 x    3 x    5 x    x 
  - ---- - ---- + ---- + -- 
     12     5      8     2

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

使用MATLAB查找定積分

根據(jù)定義，定積分基本上是一個(gè)總和的極限。 我們使用定積分來(lái)查找曲線和x軸之間的面積以及兩條曲線之間的面積。定量積分也可用于其他情況，其中所需數(shù)量可以表示為總和的極限。

通過傳遞要計(jì)算積分的極限，int函數(shù)可用于定積分。

參考公式 -

它的寫法是 -

int(x, a, b)

例如，要計(jì)算的值是 -

因此，可以書寫為 -

int(x, 4, 9)

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

ans =
 65/2

以下是以上示例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");

f = x;

c = [1, 0];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);

display('Area: '), disp(double(a));

可以使用Octave提供的quad()函數(shù)編寫另一個(gè)替代求解代碼，如下所示：

pkg load symbolic
symbols

f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

示例1

下面來(lái)計(jì)算x軸和曲線y = x^3-2x + 5和縱坐標(biāo)x = 1和x = 2之間的面積。

所需面積由公式計(jì)算 -

創(chuàng)建腳本文件并鍵入以下代碼 -

f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

a =
23/4
Area: 
    5.7500

以下是上面示例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");

f = x^3 - 2*x +5;

c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);

display('Area: '), disp(double(a));

可以使用Octave提供的quad()函數(shù)給出一個(gè)替代求解代碼，如下所示：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");

f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

Area: 

 5.7500

示例2

查找曲線下面積：f(x)= x^2 cos(x)，對(duì)于-4≤x≤9。

創(chuàng)建一個(gè)腳本文件并寫下面的代碼 -

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

同時(shí)也會(huì)輸出以下內(nèi)容 -

a =

8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)

Area: 
    0.3326

以下是上面示例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");

f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));