MATLAB提供了解決微分和積分微積分的各種方法，求解任何程度的微分方程和極限計算?？梢暂p松繪制復(fù)雜功能的圖形，并通過求解原始功能以及其衍生來檢查圖形上的最大值，最小值和其他固定點。

本章將介紹微積分問題。在本章中，將討論預(yù)演算法，即計算功能限制和驗證限制屬性。

在下一章微分中，將計表達式的導(dǎo)數(shù)，并找到一個圖的局部最大值和最小值。我們還將討論求解微分方程。

最后，在“整合/集成”一章中，我們將討論積分微積分。

計算極限

MATLAB提供計算極限的limit函數(shù)。在其最基本的形式中，limit函數(shù)將表達式作為參數(shù)，并在獨立變量為零時找到表達式的極限。

例如，要計算函數(shù)f(x)=(x^3 + 5)/(x^4 + 7)的極限，因為x趨向于零。

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

Trial>> syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

ans =

5/7

limit函數(shù)落在符號計算域; 需要使用syms函數(shù)來告訴MATLAB正在使用的符號變量。還可以計算函數(shù)的極限，因為變量趨向于除零之外的某個數(shù)字。要計算 -

可使用帶有參數(shù)的limit命令。第一個是表達式，第二個是數(shù)字 - x表示接近，這里它是a。

例如，要計算函數(shù)f(x)=(x-3)/(x-1)的極限，因為x傾向于1。

limit((x - 3)/(x-1),1)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

ans =
 NaN

下面再看另外一個例子，

limit(x^2 + 5, 3)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

ans =
 14

使用Octave計算極限

以下是Octave版本的上述示例使用symbolic包，嘗試執(zhí)行并比較結(jié)果 -

pkg load symbolic
symbols
x=sym("x");

subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

ans =
0.7142857142857142857

驗證極限的基本屬性

代數(shù)極限定理提供了極限的一些基本屬性。這些屬性如下 -

下面來考慮兩個函數(shù) -

f(x) = (3x + 5)/(x - 3)
g(x) = x^2 + 1.

下面計算函數(shù)的極限，這兩個函數(shù)的x趨向于5，并使用這兩個函數(shù)和MATLAB驗證極限的基本屬性。

例子

創(chuàng)建腳本文件并在其中鍵入以下代碼 -

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

l1 =
 17

l2 =
17

lAdd =
 34

lSub =
 0

lMult =
289

lDiv =
1

使用Octave驗證極限的基本屬性

以下是Octave版本的上述示例使用symbolic包，嘗試執(zhí)行并比較結(jié)果 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1=subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

l1 =

17.0
l2 =

17.0
lAdd =

34.0
lSub =

0.0
lMult =

289.0
lDiv =

1.0

左右邊界極限

當(dāng)函數(shù)對變量的某個特定值具有不連續(xù)性時，該點不存在極限。 換句話說，當(dāng)x = a時，函數(shù)f(x)的極限具有不連續(xù)性，當(dāng)x的值從左側(cè)接近x時，x的值不等于x從右側(cè)接近的極限值。

對于x <a的值，左極限被定義為x - > a的極限，從左側(cè)即x接近a。 對于x> a的值，右極限被定義為x - > a的極限，從右邊，即x接近a。 當(dāng)左極限和右極限不相等時，極限不存在。

下面來看看一個函數(shù) -

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

下面將顯示不存在。MATLAB幫助我們以兩種方式說明事實 -

• 通過繪制函數(shù)圖并顯示不連續(xù)性。
• 通過計算極限并顯示兩者都不同。

通過將字符串“l(fā)eft”和“right”作為最后一個參數(shù)傳遞給limit命令來計算左側(cè)和右側(cè)的極限。

例子

創(chuàng)建腳本文件并在其中鍵入以下代碼 -

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

顯示以下輸出結(jié)果 -

Trial>> 
Trial>> f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

l =

-1


r =

1